Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，（不與點A重合）過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點N、E、M．
（1）如圖1，直接寫出AN與AE的數量關系是

 

．
（2）當直線l經過點C時（如圖2），求證：BN=CD；
（3）當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明；
（4）請直接寫出過點H的直線l在射線AO上移動（點H不與點A重合）的過程中，BN、CE、CD之間的等量關系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據等腰三角形底邊三線合一性質即可解題；
（2）連結ND，易證AN=AC，易證∠B=∠BDN，可得BN=DN，即可解題；
（3）過點C作CN'⊥AO交AB于N'，過點C作CG∥AB交直線l于點G，由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，易證CG=CE，BM=CM，即可證明△BNM≌△CGM，可得BN=CG，即可解題；
（4）總結（1）（2）（3）結論，即可解題．

解答：（1）解：∵AO平分∠BAC，AH⊥NE，
∴AN=AE；
（2）證明：連結ND，

∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是線段NC的中垂線
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（3）當M是BC中點時，CE和CD之間的等量關系為CD=2CE，
理由：證明：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，過點C作CG∥AB交直線l于點G，

由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中點，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，

∠B=∠BCG BM=CM ∠NMB=∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（4）解：BN、CE、CD之間的等量關系：
當點M在線段BC上時，CD=BN+CE，
當點M在BC的延長線上時，CD=BN-CE，
當點M在CB的延長線上時CD=CE-BN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質，本題中求證△BNM≌△CGM是解題的關鍵．