Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線(xiàn)AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A重合）過(guò)點(diǎn)H作直線(xiàn)l⊥AO于H，分別交直線(xiàn)AB、AC、BC、于點(diǎn)N、E、M．
（1）如圖1，直接寫(xiě)出AN與AE的數(shù)量關(guān)系是

 

．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)（如圖2），求證：BN=CD；
（3）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)H的直線(xiàn)l在射線(xiàn)AO上移動(dòng)（點(diǎn)H不與點(diǎn)A重合）的過(guò)程中，BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形底邊三線(xiàn)合一性質(zhì)即可解題；
（2）連結(jié)ND，易證AN=AC，易證∠B=∠BDN，可得BN=DN，即可解題；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線(xiàn)l于點(diǎn)G，由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，易證CG=CE，BM=CM，即可證明△BNM≌△CGM，可得BN=CG，即可解題；
（4）總結(jié)（1）（2）（3）結(jié)論，即可解題．

解答：（1）解：∵AO平分∠BAC，AH⊥NE，
∴AN=AE；
（2）證明：連結(jié)ND，

∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線(xiàn)l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是線(xiàn)段NC的中垂線(xiàn)
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（3）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，
理由：證明：過(guò)點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線(xiàn)l于點(diǎn)G，

由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，

∠B=∠BCG BM=CM ∠NMB=∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（4）解：BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：
當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段BC上時(shí)，CD=BN+CE，
當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CD=BN-CE，
當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)CD=CE-BN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線(xiàn)合一的性質(zhì)，本題中求證△BNM≌△CGM是解題的關(guān)鍵．