Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，O₂A切⊙O₁于點(diǎn)A，O₁O₂與AB交于點(diǎn)C，與⊙O₁交于點(diǎn)D．若AB=8，CD=2，則tan∠AO₂C=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相交兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明O₁O₂⊥AB，AC=BC=4；O₁A⊥AO₂；根據(jù)射影定理列出關(guān)于λ、μ的方程組，求出λ、μ即可解決問題．

解答：解：如圖，連接O₁A；
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，且O₂A切⊙O₁于點(diǎn)A，
∴O₁O₂⊥AB，AC=BC=4；O₁A⊥AO₂；
設(shè)⊙O₁的半徑為λ，則O₁C=λ-2；設(shè)O₂C=μ；
由射影定理得：

λ2=(λ-2)(λ-2+μ) 42=(λ-2)μ

，
解得：λ=5，μ=

16

3

，
∴tan∠AO₂C=

AC

O2C

=

3

4

，
故答案為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：該題以圓為載體，主要考查了相交兩圓的性質(zhì)、射影定理、正切三角函數(shù)的定義等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；深入觀察圖形，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．