Question

11．如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．
（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點P是線段BD上一點，當(dāng)PE=PC時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當(dāng)以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)為（x，-2x+6），利用勾股定理表示出PC²和PE²，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1，連接PC、PE，
x=-$\frac{2a}$=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
當(dāng)x=1時，y=4，
∴點D的坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-2x+6，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-2x+6），
則PC²=x²+（3+2x-6）²，PE²=（x-1）²+（-2x+6）²，
∵PC=PE，
∴x²+（3+2x-6）²=（x-1）²+（-2x+6）²，
解得，x=2，
則y=-2×2+6=2，
∴點P的坐標(biāo)為（2，2）；
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，0），則點G的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），
∵以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形，
∴FM=MG，即|2-a|=|-a²+2a+3|，
當(dāng)2-a=-a²+2a+3時，
整理得，a²-3a-1=0，
解得，a=$\frac{3±\sqrt{13}}{2}$，
當(dāng)2-a=-（-a²+2a+3）時，
整理得，a²-a-5=0，
解得，a=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$，
∴當(dāng)以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，0），（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，0），（$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，0），（$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，0）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．