Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N，

①點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②點(diǎn)在軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫出使得，，三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的的值.

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），；（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

【解析】

試題分析：(1) 把點(diǎn)代入求得c值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求得b值，從而求得拋物線的解析式；（2）由軸，M（m，0），可得N( )，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°兩種情況求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②分N為PM的中點(diǎn)、P為NM的中點(diǎn)、M為PN的中點(diǎn)3種情況求m的值.

試題解析：

（1）直線與軸交于點(diǎn)，

∴，解得c=2

∴B（0，2），

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，∴b=

∴拋物線的解析式為；

（2）∵軸，M（m，0），∴N( )

①有（1）知直線AB的解析式為，OA=3，OB=2

∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP =90°，

分兩種情況討論如下：

（I）當(dāng)∠NBP=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NC軸于點(diǎn)C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

BC=

∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，

∴∠BNC=∠ABO，

∴Rt△NCB∽ Rt△BOA

∴ ,即 ，解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

（II）當(dāng)∠BNP=90°時(shí)， BNMN，

∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，

∴

解得m=0（舍去）或m=

∴M（，0）；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或M（，0）；

②m=-1或m=或m=.