Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過點A（-2，0），B（6，0），與y軸交于C．
（1）a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，拋物線的對稱軸是直線x=2，頂點坐標為（2，$\frac{16}{3}$）；
（2）M是AC的中點，MN⊥AC交x軸于N，求直線MN的解析式y(tǒng)=kx+b；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在x軸上，當四邊形ACPQ是軸對稱圖形時，求點P的縱坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法先求出a、b，再求出對稱軸和頂點坐標即可．
（2）根據(jù)兩條直線垂直k的乘積為-1，利用待定系數(shù)法即可解決．
（3）如圖①當四邊形ACP₁Q₁是等腰梯形時，CP₁=AQ₁，AC∥P₁Q₁，設(shè)EQ₁=x，由△ACO∽△Q₁P₁E，得$\frac{AO}{{Q}_{1}E}$=$\frac{CO}{{P}_{1}E}$，列出方程解決問題．
②當四邊形ACP₂Q₂是等腰梯形時，AC=P₂Q₂，P₂C∥AQ₂，求出點P縱坐標即可．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-2，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x+4．
∴對稱軸x=2，頂點（2，$\frac{16}{3}$）．
故答案分別為-$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$，x=2，（2，$\frac{16}{3}$）．
（2）∵M是AC中點，
∴點M坐標（-1，2），
∵直線AC解析式為y=2x+4，AC⊥MN
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線MN為y=-$\frac{1}{2}$x+b，把M（-1，2）代入得到b=$\frac{3}{2}$，
∴直線MN解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
（3）如圖①當四邊形ACP₁Q₁是等腰梯形時，CP₁=AQ₁，AC∥P₁Q₁，設(shè)EQ₁=x，
∵∠CAO=∠P₁Q₁E，∠AOC=∠P₁EQ₁，
∴△ACO∽△Q₁P₁E，
∴$\frac{AO}{{Q}_{1}E}$=$\frac{CO}{{P}_{1}E}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{{P}_{1}E}{4}$，
∴P₁E=2x，
∵CP₁=AQ₁，
∴x+2=$\sqrt{{2}^{2}+（4-x）^{2}}$，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴點P縱坐標為$\frac{14}{5}$．
②當四邊形ACP₂Q₂是等腰梯形時，AC=P₂Q₂，P₂C∥AQ₂，此時點P縱坐標為4．
綜上所述：當四邊形ACPQ是軸對稱圖形時，點P的縱坐標為4或$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查拋物線與x軸交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會畫圖，思考問題要全面，不能漏解，屬于中考壓軸題．