Question

如圖①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．
（1）S_△ABD=

 

．（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中：
探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉(zhuǎn)而變化？說明理由．
探究二：當(dāng)α的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形APDQ是正方形？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AD⊥BC得BD=CD，則S_△ABD=

1

2

S_△ABC=4；
（2）①在△ABC中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=45°，易得∠BAD=∠DAC=45°，BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠BDP=∠ADQ，于是可判斷△BPD≌△AQD，所以S_{四邊形APDQ}=S_△APD+S_△AQD=S_△APD+S_△BPD=S_△ABD=4，即可判斷四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化；
②由于∠PAQ=90°，則當(dāng)DP⊥AB時(shí)，四邊形APDQ為矩形，加上PA=PD，于是可判斷四邊形APDQ是正方形，此時(shí)∠BDP=45°，即α=45°．

解答：解：（1）∵AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

2

•

1

2

×4×4=4；
故答案為4；
（2）①四邊形APDQ的面積不會隨旋轉(zhuǎn)而變化．理由如下：
在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴∠B=∠DAQ=∠BAD=45°，BD=AD，
又∵∠BDP+∠ADP=90°，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，
∴∠BDP=∠ADQ，
在△BPD和△AQD中，

∠B=∠DAQ BD=AD ∠BDP=∠ADQ

，
∴△BPD≌△AQD（ASA），
∴S_{四邊形APDQ}=S_△APD+S_△AQD=S_△APD+S_△BPD=S_△ABD=4；
②α=45°時(shí)，四邊形APDQ是正方形．理由如下：
∵∠PAQ=90°，
∴當(dāng)DP⊥AB時(shí)，
而∠PDQ=90°，
∴四邊形APDQ為矩形，
∵∠PAD=45°，
∴PA=PD，
∴四邊形APDQ是正方形，此時(shí)∠BDP=45°，即α=45°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的判定．