Question

點G是正方形ABCD邊AB的中點，點E是射線BC上一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，連接EG．

（1）若E為BC的中點（如圖1）
①求證：△AEG≌△EFC；
②連接DF，DB，求證：DF⊥BD；
（2）若E是BC延長線上一點（如圖2），則線段CF和BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，給出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠BDC=45°．
∵點G、E分別是AB、BC的中點，
∴AG=BG=AB，BE=CE=BC，
∴AG=BG=BE=CE．
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=∠NCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEN=90°．
∵∠AEB+∠BNE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AEG≌△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（ASA）
②作FN⊥BC于N，
∴∠FNC=90°，
∴∠ABE=∠ENF．
∵△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．
在△ABE和△ENF中，
，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE，
∵∠CFN=45°，
∴CF=FN．
設AB=CD=AD=CD=2a，
∴BD=2a，CF=a，
∴，，
∴，
∵∠ABD=∠FCD=45°，
∴△ABD∽△FCD，
∴∠ADB=∠FDC=45°，
∴∠BDF=90°，
∴DF⊥BD．
（2）CF=BE．理由：
延長BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延長線于G，
∴∠FGE=90°，
∴∠ABE=∠FGE．
在Rt△CFG中，由勾股定理．得
∴CF=FG．
∴∠FGE=∠ABE．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
，
∴AE=EF，∠MAE=∠CEF，
∴∠BAE=∠GEF
在△ABE和△CGF中，
，
∴△ABE≌△CGF（AAS）
∴BE=FG，
∴CF=BE．
分析：（1）①由正方形的性質(zhì)及G是AB的中點、E是BC的中點可以求出∠AGE=135°，AG=EC，∠GAE=∠CEF，從而得出結(jié)論；
②設正方形的邊長為2a，由條件可以得出AG=EC=a，如圖1，作FN⊥BC于N，由條件證明△ABE≌△ENF，可以得出BE=FN=a，就有CN=a，CF=a，得出，，，就可以得出△ABD∽△FCD，就可以得出∠ADB=∠FDC=45°，得出∠BDF=90°，得出結(jié)論；
（2）延長BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延長線于G，證明△AME≌△ECF，得出AE=EF，證明△ABE≌△CGF，可以得出GF=BE，從而可以得出CF與BE的關(guān)系．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形四條邊都相等，四個角為等于90°；正方形的對角線相等且互相垂直平分．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在解答時證明三角形全等和相似是關(guān)鍵．