【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q,過(guò)點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BQ=x,QR=y.
(1)求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng);
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)是否存在點(diǎn)P,使△PQR為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)y=-x+6(3)存在,或6或
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH的長(zhǎng);
(2)根據(jù)△RQC∽△ABC,根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)畫出圖形,根據(jù)圖形進(jìn)行討論:
①當(dāng)PQ=PR時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥QR于M,則QM=RM.由于∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.
∴cos∠1=cosC=,∴,即可求出x的值;
②當(dāng)PQ=RQ時(shí),﹣x+6=,x=6;
③當(dāng)PR=QR時(shí),則R為PQ中垂線上的點(diǎn),于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn),故CR=CE=AC=2.由于tanC=,x=.
試題解析:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴BC==10.
∵∠DHB=∠A=90°,∠B=∠B.
∴△BHD∽△BAC,
∴,
∴DH=AC=×8=
(2)∵QR∥AB,
∴∠QRC=∠A=90°.
∵∠C=∠C,
∴△RQC∽△ABC,
∴,∴,
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:y=-x+6.
(3)存在,分三種情況:
①當(dāng)PQ=PR時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥QR于M,則QM=RM.
∵∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,
∴∠1=∠C.
∴cos∠1=cosC=,
∴,
∴,
∴x=.
②當(dāng)PQ=RQ時(shí),﹣x+6=,
∴x=6.
③作EM⊥BC,RN⊥EM,
∴EM∥PQ,
當(dāng)PR=QR時(shí),則R為PQ中垂線上的點(diǎn),
∴EN=MN,
∴ER=RC,
∴點(diǎn)R為EC的中點(diǎn),
∴CR=CE=AC=2.
∵tanC=,
∴,
∴x=.
綜上所述,當(dāng)x為或6或時(shí),△PQR為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2,與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,與y軸交于點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),tan∠CAO﹣tan∠CBO=1.
(1)求證:n+4m=0;
(2)求m、n的值;
(3)當(dāng)p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求二次函數(shù)的最大值.
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【題目】關(guān)于一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),下列說(shuō)法中正確的是:
A. 平均數(shù)一定是這組數(shù)中的某個(gè)數(shù) B. 眾數(shù)一定是這組數(shù)中的某個(gè)數(shù)
C. 中位數(shù)一定是這組數(shù)中的某個(gè)數(shù) D. 以上說(shuō)法都不對(duì)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某自然保護(hù)區(qū)的面積為2150 000 000平方米,2150000000這個(gè)數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為:
A. 2.15×108 B. 21.5×108 C. 2.15×109 D. 0.215×109
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中錯(cuò)誤的有( 。﹤(gè)
(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等
(2)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
(3)對(duì)角線相等的四邊形為矩形
(4)圓的切線垂直于半徑
(5)平分弦的直徑垂直于弦
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形、菱形和正方形的對(duì)角線都具有的性質(zhì)是( 。
A. 互相平分B. 互相垂直C. 相等D. 任何一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下列條件可列出一元一次方程的是( )
A. a與1的和的3倍
B. 甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的3倍的和
C. a與b的差的20%
D. 一個(gè)數(shù)的3倍是5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,線段AB,AD交于點(diǎn)A.C為直線AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,D重合).過(guò)點(diǎn)C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC,過(guò)點(diǎn)D作直線DF∥AB,交CE于點(diǎn)G(G與D不重合).
(1)如圖1,若點(diǎn)C在線段AD上,且∠BCA為鈍角.
①按要求補(bǔ)全圖形;②判斷∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(2)若點(diǎn)C在線段DA的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)直接寫出∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系 ;
附加題(2分).
請(qǐng)你結(jié)合28題的題意提出一個(gè)新的拓展問(wèn)題 .
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