【題目】我們定義:在一個三角形中,如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的3倍,那么這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”.如:三個內(nèi)角分別為105°,40°,35°的三角形是“和諧三角形”
概念理解:如圖1,∠MON=60°,在射線OM上找一點A,過點A作AB⊥OM交ON于點B,以A為端點作射線AD,交線段OB于點C(點C不與O,B重合)
(1)∠ABO的度數(shù)為______,△AOB______(填“是”或“不是”)“和諧三角形”;
(2)若∠ACB=80°,求證:△AOC是“和諧三角形”.
應(yīng)用拓展:(3)如圖2,點D在△ABC的邊AB上,連接DC,作∠ADC的平分線交AC于點E,在DC上取點F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.若△BCD是“和諧三角形”,求∠B的度數(shù).
【答案】(1)30,是;(2)證明見解析;(3)∠B=36°或∠B=
【解析】
(1)根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO的度數(shù),根據(jù)“和諧三角形”的概念判斷;
(2)根據(jù)“和諧三角形”的概念證明即可;應(yīng)用拓展:根據(jù)比較的性質(zhì)得到∠EFC=∠ADC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠ADE,推出DE∥BC,得到∠CDE=∠BCD,根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE=∠CDE,求得∠B=∠BCD,根據(jù)“和諧三角形”的定義求解即可.
解:(1)∵AB⊥OM,
∴∠OAB=90°,
∴∠ABO=90°-∠MON=30°,
∵∠OAB=3∠ABO,
∴△AOB為“和諧三角形”,
故答案為:30;是;
(2)證明:∵∠MON=60°,∠ACB=80°,
∵∠ACB=∠OAC+∠MON,
∴∠OAC=80°-60°=20°,
∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC,
∴△AOC是“和諧三角形”;
應(yīng)用拓展:
∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°,
∴∠EFC=∠ADC,
∴AD∥EF,
∴∠DEF=∠ADE,
∵∠DEF=∠B,
∴∠B=∠ADE,
∴DE∥BC,
∴∠CDE=∠BCD,
∵AE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠B=∠BCD,
∵△BCD是“和諧三角形”,
∴∠BDC=3∠B,或∠B=3∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°,
∴∠B=36°或∠B=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點E,連接DE交AC于點F.
(1)求證:四邊形ADCE為矩形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是一個正方形?并給出證明.
(3)在(2)的條件下,若AB=AC=2,求正方形ADCE周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=60°,C是BO延長線上一點,OC=12cm,動點P從點C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動,動點Q從點O出發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動,如果點P、Q同時出發(fā),用t(s)表示移動的時間,當(dāng)t=_____s時,△POQ是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,長方形ABCD中,∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°,AD=BC=6,AB=CD=10.點E為射線DC上的一個動點,把△ADE沿直線AE翻折得△AD′E.
(1)當(dāng)D′點落在AB邊上時,∠DAE= °;
(2)如圖2,當(dāng)E點與C點重合時,D′C與AB交點F,
①求證:AF=FC;②求AF長.
(3)連接D′B,當(dāng)∠AD′B=90°時,求DE的長.
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【題目】某廠前5個月生產(chǎn)的總產(chǎn)量y(件)與時間x(月)的關(guān)系如圖所示,則下列說法正確的是( 。
A. 1﹣3月的月產(chǎn)量逐月增加,4、5兩月產(chǎn)量逐月減少
B. 1﹣3月的月產(chǎn)量逐月增加,4、5兩月產(chǎn)量與3月持平
C. 1﹣3月的月產(chǎn)量逐月增加,4、5兩月停產(chǎn)
D. 1﹣3月的月產(chǎn)量逐月持平,4、5兩月停產(chǎn)
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【題目】“8字”的性質(zhì)及應(yīng)用:
(1)如圖①,AD、BC相交于點O,得到一個“8字”ABCD,求證:∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)圖②中共有多少個“8字”?
(3)如圖②,∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E,利用(1)中的結(jié)論證明∠E=(∠A+∠C).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD∥GE,AQ 平分∠FAC,交 BD 于 Q,∠GFA=50°,∠Q=25°,則∠ACB 的 度數(shù)( )
A. 90° B. 95° C. 100° D. 105°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù) 的圖象過點,一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點.
(1)求值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)求值;
(3)設(shè)直線與二次函數(shù)圖象交于兩點,過作垂直軸于點,
試證明:;
(4)在(3)的條件下,請判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)尺規(guī)作圖:如圖,AB為⊙O的直徑,過點A作⊙O的切線m;
(2)在直線m上任取一點P(A點除外),連接PB交圓O與點C,請補全圖形,并證明:
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