Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）存在點(diǎn)，使的面積最大，最大面積是．（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x+4），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x+4），PD=-x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出S△PBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m2+m+4），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+4），進(jìn)而可得出MN=|-m2+2m|，結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為．

當(dāng)時(shí)，，

解得：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為．

將、代入，

，解得：，

∴直線的解析式為．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示．

∴，

∴．

∵，

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是．

∵，

∴存在點(diǎn)，使的面積最大，最大面積是．

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴．

又∵，

∴．

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

當(dāng)或時(shí)，有，

解得：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．