Question

17．如圖：已知直線y₁=-2x+3和直線y₂=mx-1分別交y軸于點A、B，兩直線交于點C（1，n）．
（1）求m、n的值；           
（2）在x軸上求點P的坐標，使△PAC的周長最��；
（3）求點A到直線y₂=mx-1的距離．

Answer 1

分析 （1）先利用直線y₁求出點C坐標，再利用直線y₂求出m的值．
（2）點A關于x軸的對稱點A′（0，-3），求出直線A′C與x軸的交點即可解決問題．
（3）求出AB、BC利用面積法即可解決．

解答 解：（1）∵點C（1，n）在直線y₁=-2x+3上，
∴n=-2+3=1，
∴點C坐標（1，1）代入直線y₂=mx-1得m=2，
∴m=2，n=1．
（2）∵點A坐標（0，3），點C坐標（1，1），
點A關于x軸的對稱點A′（0，-3），
設直線A′C為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴直線A′C為y=4x-3，
直線A′C與x軸的交點就是所求的點P，此時△ACP周長最小，
∴點P坐標（$\frac{3}{4}$，0）．
（3）∵A（0，3），B（0，-1），C（1，1），設點A到直線線y₂=mx-1的距離為h，
∴AB=4，BC=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴點A到直線y₂=mx-1的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、一次函數(shù)等知識，解題關鍵是利用軸對稱正確找到點P的位置，利用一次函數(shù)解決點P坐標，屬于中考常考題型．