Question

已知：E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠ECD=∠EDC=15°，求證：△ABE是等邊三角形，小萍同學(xué)靈活運(yùn)用全等變換，將△ECD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)與翻折，使△ECD≌△FAD，巧妙地解答了此題．請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題：
（1）證明：△DEF是等邊三角形；
（2）證明：△ECD≌△FAE；
（3）證明：△ABE是等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF，∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，即可得出答案；
（2）利用（1）中結(jié)論得出∠AFE=360°-150°-60°=150°，進(jìn)而得出DE=EF，AF=EC，即可得出答案；
（3）利用以上結(jié)論得出∠DAE=30°，進(jìn)而得出AE=AB，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵∠ECD=∠EDC=15°，將△ECD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)與翻折，使△ECD≌△FAD，
∴∠FDA=15°，DE=DF，
∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，
∴△DEF是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（2）∵△DEF是等邊三角形，
∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，
∵DE=EC，DF=AF，
∴AF=EF，
∵∠ECD=∠EDC=15°，
∴∠DEC=150°，
∴∠DFA=150°，
∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，
∴

DE=FE ∠DEC=∠AFE AF=EC

，
∴△ECD≌△FAE（SAS）；

（3）∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，
∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的翻折變換以及全等三角的判定和等邊三角形的判定等知識(shí)，熟練利用全等三角形形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．