Question

如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延長線于H，連CG，分別交AB、AD于M、N．
（1）求證：PA為⊙O的切線．
（2）若AM=2EM，AN=

4

3

2

，OH=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,垂徑定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OA，欲證PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥PA即可；
（2）AM=2EM，且CM是角平分線，所以AC：CE=2：1，所以∠CAE=30°，ND：AN=2：1，從而可求AD長度，然后解直角三角形即可求得⊙O的直徑．

解答：解：（1）證明：∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CAD=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴CA⊥DA；
又∵OP∥AC，
∴OP⊥AD，
∴OP垂直平分AD（垂徑定理）；
∵OA=OD（⊙O的半徑），
∴∠AOP=∠DOP（等腰三角形“三線合一”）；
在△AOP和△DOP中，

AO=DO ∠AOP=∠DOP OP=OP(公共邊)

，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PAO=∠PDO（全等三角形的對應角相等）；
∵PD⊥CD，
∴∠PAO=∠PDO=90°，∴OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半徑，
∴PA為⊙O的切線；

（2）由（1）中的AD⊥OP知，

AG

=

DG

，
∴∠ACG=∠DCG（等弧所對的圓周角相等），
∴

AC

AM

=

CE

ME

，

AC

AN

=

CD

DN

．
由∵AM=2EM（已知），
∴

CE

AC

=

1

2

，

AN

DN

=

1

2

，
∴∠CAE=30°（直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半），
∴∠ACE=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴AC=OA=r，
∴

AC

AN

=

CD

DN

=

r

4 2 3

=

2r

3 r- 4 2 3

，
解得，r=

4 6

3

，即⊙O的半徑是

4 6

3

．

點評：本題綜合考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂徑定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．