Question

已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1．

（1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x；（2）C（0，3）、D（2，-1）；（3）P（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）根據(jù)m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標以及圖象與y軸交點即可；

（3）根據(jù)當P、C、D共線時PC+PD最短，利用平行線分線段成比例定理得出PO的長即可得出答案．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O（0，0），

∴代入二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1，得出：m2-1=0，

解得：m=±1，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x；

（2）∵m=2，

∴二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線的頂點為：D（2，-1），

當x=0時，y=3，

∴C點坐標為：（0，3），

∴C（0，3）、D（2，-1）；

（3）當P、C、D共線時PC+PD最短，

過點D作DE⊥y軸于點E，

∵PO∥DE，

∴，

∴，

解得：PO=，

∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（，0）．

考點：二次函數(shù)綜合題．