【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)如圖1,若交于點(diǎn).點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),求證:;
(2)如圖2,若是的角平分線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),求的值;
(3)如圖3,若交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)證明:.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)作BH⊥OQ交OQ的延長(zhǎng)線于H.先證明△OAE≌△BOH,推出OE=BH,AE=OH,再證明△OED≌△BHQ,推出DE=QH,推出AD-OQ=AE+DE-(OH-HQ)=2DE,于是得到結(jié)論;
(3)如圖3中,作OE平分∠AOB交AD于E.只要證明△AOE≌△OBC,推出OE=OC,再證明△ODE≌△ODC,推出∠ODE=∠ODC,由∠ODE=∠BDN,可得∠ODC=∠BDN,由此即可解決問(wèn)題.
(1)證明:
∵BF⊥AD,DG⊥BF,OE∥BF,
∴∠DEA=∠OGB=90°,
∵∠OAE=∠DOE=∠OBG,OA=OB,
∴△AOE≌△BOG(AAS),
∴AE=BG;
(2)解:如圖2中,作BH⊥OQ交OQ的延長(zhǎng)線于H.
∵AD是∠OAB的角平分線,
∴∠OAD=22.5°,
∴∠ADO=67.5°,
∵AD⊥OE,
∴∠BOH=∠OAD=22.5°,
∵OA=OB,∠AEO=∠H=90°,
∴△OAE≌△BOH(AAS),
∴OE=BH,AE=OH,
∵AF⊥OH,OH⊥BH,
∴∠ADO=∠OBH=67.5°,
∵∠OBA=45°,
∴∠HBQ=∠DOE=22.5°,
∵∠OED=∠H=90°,
∴△OED≌△BHQ,
∴DE=QH,
∴AD-OQ=AE+DE-(OH-HQ)=2DE,
∴.
(3)解:如圖3中,作OE平分∠AOB交AD于E.
∵OC∥AB,
∴∠COB=∠ABO=∠AOE=45°,
∵OA=OB,∠OAE=∠OBC,
∴△AOE≌△OBC(ASA),
∴OE=OC,
∵∠EOD=∠DOC,OD=OD,
∴△ODE≌△ODC(SAS),
∴∠ODE=∠ODC,
∵∠ODE=∠BDF,
∴∠ODC=∠BDF,
∵∠CDF+∠ODC+∠BDF=180°,
∴∠CDF+2∠BDF=180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】節(jié)能又環(huán)保的油電混合動(dòng)力汽車,既可以用油做動(dòng)力行駛,也可以用電做動(dòng)力行駛,某品牌油電混合動(dòng)力汽車從甲地行駛到乙地,若完全用油做動(dòng)力行駛,則費(fèi)用為80元;若完全用電做動(dòng)力行駛,則費(fèi)用為30元,已知汽車行駛中每千米用油費(fèi)用比用電費(fèi)用多0.5元.
(1)求:汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是多少元?甲、乙兩地的距離是多少千米?
(2)若汽車從甲地到乙地采用油電混合動(dòng)力行駛,且所需費(fèi)用不超過(guò)50元,則至少需要用電行駛多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①②,試研究其中∠1、∠2與∠3、∠4之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如果我們把∠1、∠2稱為四邊形的外角,那么請(qǐng)你用文字描述上述的關(guān)系式;
(3)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決下列問(wèn)題:
如圖,AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分線,∠B+∠C=240°,求∠E的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下面的內(nèi)容,再解決問(wèn)題.
例題:若,求和的值.
解:∵
∴
即
∴,
∴,
問(wèn)題:(1)若,求的值;
(2)已知是的三邊長(zhǎng),滿足,且中最長(zhǎng)的邊的長(zhǎng)度為,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船以每小時(shí)40海里的速度在海面上航行,當(dāng)該輪船行駛到B處時(shí),發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的東北方向,輪船繼續(xù)向北航行,30分鐘后到達(dá)A處,此時(shí)發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的北偏東75°方向上,求此時(shí)輪船與燈塔C的距離.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,∠BAC=30°,D為角平分線上一點(diǎn),DE⊥AC于E,DF∥AC,且交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:△AFD為等腰三角形;
(2)若DF=10cm,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,CD是∠ACB的角平分線,CE是AB邊上的高,
(1)若∠A=40°,∠B=60°,求∠DCE的度數(shù).
(2)若∠A=m,∠B=n,求∠DCE.(用m、n表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①,在銳角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分∠ACB,請(qǐng)分別寫(xiě)出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由;
(2)如圖②,在銳角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM,請(qǐng)分別寫(xiě)出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由;
(3)如圖③,在銳角△ABC中,BD和BE三等分外角∠PBC,CD和CE三等分外角∠QCB,請(qǐng)分別直接寫(xiě)出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系.
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