Question

在△ABC中，∠ABC=45°，F(xiàn)是高AD與高BE的交點．
（1）求證：△ADC≌△BDF．
（2）連接CF，若CD=4，求CF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證明AD=BD，再證明∠FBD=∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△ADC；
（2）利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出DF=CD=4，根據(jù)勾股定理求出CF即可．

解答：（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠FDB=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠CAD=∠FBD，
在△ADC和△BDE中

∠ADC=∠BDF AD=BD ∠CAD=∠DBF

∴△ADC≌△BDE（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD=4，
∴DF=CD=4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF=

DF2+CD2

=

42+42

=4

2

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．