【題目】如圖,AB是⊙O的弦,D為OA半徑的中點,過D作CD⊥OA交弦AB于點E,交⊙O于點F,且CE=CB.

1)求證:BC是⊙O的切線;

2)連接AF,BF,求∠ABF的度數(shù);

3)如果CD=15BE=10,sinA=,求⊙O的半徑.

【答案】(1)證明見解析;

(2)∠ABF的度數(shù)為30°;

(3)⊙O的半徑為.

【解析】試題分析:(1)連接OB,由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°,即可證明BC是 O的切線;(2)連接OF,AF,BF,首先證明△OAF是等邊三角形,再利用圓周角定理:同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù);(3)過點C作CG⊥BE于G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=BE=5,由兩角相等的三角形相似,△ADE∽△CGE,利用相似三角形對應(yīng)角相等得到sin∠ECG=sinA=,在Rt△ECG中,利用勾股定理求出CG的長,根據(jù)三角形相似得到比例式,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.

試題解析:(1)證明:連接OB

OB=OA,CE=CB

∴∠A=OBA,CEB=ABC

又∵CDOA

∴∠A+AED=A+CEB=90°

∴∠OBA+ABC=90°

OBBC

BCO的切線。

(2)連接OF,AF,BF,

DA=DOCDOA,

AF=OF,

OA=OF

∴△OAF是等邊三角形,

∴∠AOF=60°

∴∠ABF=AOF=30°

(3)如圖,過點CCGBEG

CE=CB,

EG=BE=5

∵∠ADE=CGE=90°,AED=GEC

∴∠GCE=A,

ADECGE,

sinECG=sinA=,即CE=13,

RtECG中,

CG=,

CD=15CE=13,

DE=2

ADECGE,

,

AD=CG=,

O的半徑OA=2AD=.

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