Question

3．如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于點O．
（1）如圖1，AH⊥BC，求證：△ABH≌△ACH；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉(zhuǎn)過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得到AB=AC，從而用HL判定出△ABH≌△ACH．
（2）由菱形的性質(zhì)得到AB=AC，結(jié)合∠ABC=60°得到AC=AD，再判斷出△BAC≌△CAF，△AEB≌△EGC即可；

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且AC=2，
∴AB=BC=2，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH=∠ACH=90°，
在Rt△ABH和Rt△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACH（HL），
（2）①△AEF是等邊三角形，
理由：
∵四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△BAC≌△CAF，
∴AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
②∵△AEF和△ABC是等邊三角形，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，
∴∠BAE=∠GEC，
∴△AEB≌△EGC，
∴$\frac{BE}{CG}=\frac{AB}{EC}$，
又∵EC=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{4}$AB，
∴CG=$\frac{1}{4}$BE=$\frac{3}{16}$BC=$\frac{3}{8}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，還用到三角形的全等，判斷三角形全等是解本題的關(guān)鍵．