Question

如圖，點A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐標(biāo)系x軸上，點B₁、B₂、B₃、…在直線y=

3

3

x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，則A₂₀₁₄的橫坐標(biāo)

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：作B₁D⊥x軸于D，B₂E⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OD=A₁D，A₁E=A₂E，∠OB₁D=30°，∠A₁B₂E=30°，設(shè)OD=t，A₁E=a，則B₁D=

3

t，B₂E=

3

a，則B₁點坐標(biāo)為（t，

3

t），把B₁（t，

3

t）代入y=

3

3

x+1可解得t=

3

2

，于是得到A₁點的坐標(biāo)為（

3

，0），則B₂點坐標(biāo)為（

3

+a，

3

a），然后把B₂（

3

+a，

3

a）代入y=

3

3

x+1可解得a=

3

，于是得到A₂點的坐標(biāo)為（3

3

，0），同理得到A₃點的坐標(biāo)為（

3

+2

3

+6

3

，0），即（7

3

，0），按照此規(guī)律得到A₂₀₁₄的橫坐標(biāo)為（2ⁿ-1）

3

．

解答：解：作B₁D⊥x軸于D，B₂E⊥x軸于E，如圖，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂均為等邊三角形，
∴OD=A₁D，A₁E=A₂E，∠OB₁D=30°，∠A₁B₂E=30°，
設(shè)OD=t，A₁E=a，則B₁D=

3

t，B₂E=

3

a，
∴B₁點坐標(biāo)為（t，

3

t），
把B₁（t，

3

t）代入y=

3

3

x+1得

3

t=

3

3

t+1，解得t=

3

2

，
∴A₁點的坐標(biāo)為（

3

，0），
∴B₂點坐標(biāo)為（

3

+a，

3

a），
把B₂（

3

+a，

3

a）代入y=

3

3

x+1得

3

a=

3

3

（

3

+a）+1，解得a=

3

，
∴A₂點的坐標(biāo)為（3

3

，0），
同理得到A₃點的坐標(biāo)為（

3

+6

3

，0），即（7

3

，0）
所以A₂₀₁₄的橫坐標(biāo)為（2²⁰¹⁴-1）

3

．
故答案為：（2²⁰¹⁴-1）

3

．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線，直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．