Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE＝12 cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圓O以2 cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s)，當(dāng)t＝0 s時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8 cm．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓O與直徑E圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，， cm，所以與半圓所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了2 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：． 　　②如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為． 　　在Rt△中，， cm，則 cm，即等于半圓的半徑，所以與半圓所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了8 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為： 　　 　�、廴鐖D3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，， cm，所以與半圓所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了14 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為： 　　． 　　④如圖4，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的右側(cè)，且 cm時(shí)，過點(diǎn)作直線，垂足為． 　　在Rt△中，，則 cm，即等于半圓所在的圓的半徑，所以直線與半圓所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了32 cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：． 　　因?yàn)榘雸A在運(yùn)動(dòng)中，它所在的圓與所在的直線相切只有上述①、③兩種情形；與所在的直線相切只有上述②、④兩種情形；與所在直線始終相交．所以只有當(dāng)為，，，時(shí)，△的一邊所在的直線與半圓所在圓相切． 　　(2)當(dāng)△的一邊所在的直線與半圓所在的圓相切時(shí)，半圓與直徑圍成的區(qū)域與△三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖2與圖3所示的兩種情形． 　　①如圖2，設(shè)與半圓的交點(diǎn)為，易知重疊部分是圓心角為，半徑為6 cm的扇形，所求重疊部分面積為：　(cm)． 　�、谌鐖D3，設(shè)與半圓的交點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，垂足為． 　　則．在Rt△中， 　　， cm，則 cm， cm， cm． 　　(cm)． 　　又， 　　(cm)． 　　所求重疊部分面積為：(cm)．