Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以1cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0（s）時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．
（1）當(dāng)t=0（s）時(shí)，點(diǎn)A在半圓O

 

，當(dāng)t=8（s）時(shí)，點(diǎn)A在半圓O

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的邊AC與半圓O相切？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的邊AB與半圓O相切？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段AC的長(zhǎng)度可知當(dāng)t=0（s）時(shí)，點(diǎn)A在半圓外，介紹可知AC＞6，所以當(dāng)t=8時(shí)點(diǎn)A在半圓外；
（2）△ABC的邊AC與半圓O相切有2個(gè)位置，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AC與半圓O所在的圓相切，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=2；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，AC與半圓O所在的圓相切，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=14；
（3）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)，當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=8．

解答：解：（1）當(dāng)t=0（s）時(shí)，點(diǎn)A在半圓O外．
∵AC＞6，
∴當(dāng)t=8時(shí)，點(diǎn)A在半圓O外．

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AC⊥OE，OC=OE=6cm，AC與半圓O所在的圓相切，
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2cm，
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

2

1

=2（s）；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，AC⊥OD，OC=OD=6cm，AC與半圓O所在的圓相切，
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了14cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

14

1

=14（s）


（3）③如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；
∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，
又圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

8

1

=8（s）．

④當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm．
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=32÷1=32s
答：當(dāng)t等于2s或14s時(shí)，AC與半圓O所在的圓相切．
當(dāng)t等于8s或32s時(shí)，AB與半圓O所在的圓相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．利用時(shí)間t來(lái)表示線段之間的關(guān)系是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中是常用的方法之一，要會(huì)靈活運(yùn)用．并能根據(jù)圓心到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．