【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣ x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,4)和C(8,0),點(diǎn)P(t,0)是線段OC上的動(dòng)點(diǎn),PB⊥PA,且PB= PA,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線,兩直線相交于點(diǎn)D;

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上;
(3)是否存在t,使得以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似?若存在,求此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(0,4)和C(8,0),

解得

故所求的拋物線解析式為:y=﹣ x2+ x+4;


(2)解:∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO,

∴△AOP∽△PEB且相似比為 = =2,

∵AO=4,

∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,

又∵DE=OA=4,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t+2,4),

∴點(diǎn)D落在拋物線上時(shí),有﹣ (t+2)2+ (t+2)+4=4,

解得t=3或t=﹣2,

∵t>0,

∴t=3.

故當(dāng)t為3時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上;


(3)解:存在t,能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似,理由如下:

①當(dāng)0<t<8時(shí),如圖1.

若△POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,

即t:(t+2)=4:(4﹣ t),

整理,得t2+16=0,

∴t無(wú)解;

若△POA∽△BDA,同理,解得t=﹣2±2 (負(fù)值舍去);

②當(dāng)t>8時(shí),如圖2.

若△POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,

即t:(t+2)=4:( t﹣4),

解得t=8±4 (負(fù)值舍去);

若△POA∽△BDA,同理,解得t無(wú)解.

綜上可知,當(dāng)t=﹣2+2 或8+4 時(shí),以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似.


【解析】先將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣ x2+bx+c,利用待定系數(shù)法求出b、c的值即可;(2)先判斷出△AOP∽△PEB得出其相似比,進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo),代入y=﹣ x2+ x+4即可求出t的值;(3)存在t,能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似,①當(dāng)0<t<8時(shí),若△POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,從而t:(t+2)=4:(4﹣ t)無(wú)解,若△POA∽△BDA,同理,解得t=﹣2±2 (負(fù)值舍去),②當(dāng)t>8時(shí)若△POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,即t:(t+2)=4:( t﹣4),解得t=8±4 (負(fù)值舍去),若△POA∽△BDA,同理,解得t無(wú)解.綜上所述得出結(jié)論。

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