Question

已知⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于D，連結AO．
（1）求證：∠BAO=∠DAC；
（2）若AB=6，AC=3，AO=3

3

，求AD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠E=∠C；證明∠DAC+∠C=∠E+∠BAE，即可解決問題．
（2）證明△ABE∽△ADC，列出比例式AB：AD=AE：AC，求出AD即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，延長AO交⊙O于點E；連接BE；
則∠E=∠C，∠ABE=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=∠E+∠BAE，
∴∠BAE=∠DAC，
即∠BAO=∠DAC．
（2）∵∠E=∠C，∠ABE=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，而AB=6，AC=3，AO=3

3

，
∴AD=

3

．

點評：該題以圓為載體，以考查圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點為核心構造而成；解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形．