Question

9．（1）通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，甲圖是邊長(zhǎng)為x的正方形，請(qǐng)用兩種不同的方法表示甲圖中陰影部分的面積（a，b為常數(shù)）
①因式的積的形式：（x-a）（x-b）；②關(guān)于x的二次多項(xiàng)式的形式：x²-（a+b）x+ab；
由①與②，可以得到一個(gè)等式：（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab
（2）由（1）的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用：若（a-m）（a-2）=a²+na+6對(duì)a的任何值都成立，求m，n的值
（3）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，乙圖表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)乙圖中圖形的變化關(guān)系，利用整式乘法寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式．

Answer 1

分析 （1）先求得陰影部分矩形的長(zhǎng)與寬可直接求得陰影部分的面積，然后依據(jù)陰影部分的面積=正方形的面積-1個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、x的矩形-1個(gè)邊長(zhǎng)分別為b、x的矩形+一個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的矩形，從而得到恒等式；
（2）依據(jù)（1）的結(jié)果可知（a-m）（a-2）=a²-（m+2）a+2m，然后根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同求解即可；
（3）分別求得圖中幾何體的體積，然后根據(jù)原圖形與新圖形體積相等列出恒等式即可．

解答 解：（1）①陰影部分的面積=（x-a）（x-b），②陰影部分的面積=x²-ax-bx+ab=x²-（a+b）x+ab，
∵陰影部分的面積不變，
∴（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab．
故答案為：①（x-a）（x-b）；②x²-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab．
（2）由（1）可知：（a-m）（a-2）=a²-（m+2）a+2m，
又∵（a-m）（a-2）=a²+na+6，
∴2m=6，n=-（m+2）．
解得：m=3，n=-5．
（3）∵原幾何體的體積=x³-1×1•x=x³-x，新幾何體的體積=（x+1）（x-1）x，
∴x³-x=（x+1）（x-1）x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是整式的混合運(yùn)算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積或面積，然后根據(jù)它們的體積或面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．