Question

【題目】綜合與探究

數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動(dòng)，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系.

問題情境：

如圖1，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.將點(diǎn)C放在直線l上，點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D.

初步探究：

(1)在圖1的直線l上取點(diǎn)E，使BE＝BC，得到圖2.猜想線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

變式拓展：

(2)小穎又拿了一張三角形紙片MPN繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP.小穎在圖 1 的基礎(chǔ)上，將三角形紙片MPN的頂點(diǎn)P放在直線l上，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，過點(diǎn)N作NH⊥l于點(diǎn) H.

請(qǐng)從下面 A，B 兩題中任選一題作答，我選擇_____題.

A.如圖3，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在直線l的異側(cè)時(shí)，探究此時(shí)線段CP，AD，NH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

B.如圖4，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在直線l的同側(cè)，且點(diǎn)P在線段CD的中點(diǎn)時(shí)，探究此時(shí)線段CD，AD，NH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)CE＝2AD；(2)A題：CP＝AD+NH；B題：NH＝CD+AD.

【解析】

(1) 過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，通過已知條件證得△ACD≌△CBF，再通過等腰三角形性質(zhì)即可求解.

(2) ①過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN，即可得出邊邊之間關(guān)系.

②過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN，再通過邊邊轉(zhuǎn)化即可求解.

(1)CE＝2AD，理由如下：

過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，易得∠CFB＝90°

∵AD⊥l

∴∠ADC＝90°，∠CAD+∠DCA＝90°

∴∠ADC＝∠CFB

∵∠ACB＝90°

∴∠DCA+∠BCF＝90°

∴∠CAD＝∠BCF

在△ACD和△CBF 中

∴△ACD≌△CBF(AAS)

∴AD＝CF

∵BE＝BC，BF⊥l

∴CF＝EF

∴CE＝2CF＝2AD

(2)A.CP＝AD+NH，理由如下：

過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，易得∠BFP＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP和△PHN 中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵CP＝CF+PF

∴CP＝AD+NH

B.NH＝CD+AD，理由如下：

過點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，易得∠BFC＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP 和△PHN中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵點(diǎn)P在線段CD的中點(diǎn)

∴CP＝DP＝CD

由圖得：PF＝PC+CF

∴NH＝CD+AD