Question

將兩塊三角尺按如圖方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是△ACD，△ABC的重心，求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：

分析：如圖，作輔助線，求出線段OE、OF的長度；求出∠EOF的度數(shù)；運(yùn)用余弦定理即可解決問題．

解答：解：如圖，連接DE并延長，交AC于點(diǎn)O；
連接BO；
∵點(diǎn)E為△ADC的重心，
∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)；
又∵點(diǎn)F為△ABC的重心，
∴點(diǎn)F在線段BO上；
∵△ADC、△ABC均為直角三角形，
∴DO=CO=6，EO=

1

3

×6=2；
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∴∠EOA=30°+30°=60°；
同理可求：OF=2，∠AOF=90°；
∴∠EOF=150°，
由勾股定理得：
EF²=2²+2²-2×2×2cos150°
=8-4

3

，
∴EF=

6

-

2

．

點(diǎn)評：該命題主要考查了三角形的重心及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答．