Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且始終保持AD=CE，連接DE，DF，EF．探究：
（1）在整個運動過程中，△DEF的形狀是

等腰直角三角形

；
（2）指出線段AD、BE與AC間的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）若AB=10cm，求四邊形DCEF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中點，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可證明：△ADF≌△CEF再利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可證明△DFE是等腰直角三角形；
（2）AC=BE+AD，由（1）可知：AD=CE，所以CD=BE，問題得證；
（3）根據三角形的面積公式可求出S_△ABC的值，又因為四邊形DCEF的面積=

1

2

S_△ABC

解答：解：（1）等腰直角三角形，
理由如下：
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中點，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF與△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角三角形；

（2）AC=BE+AD，
由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴AD=CE，∵CA=CB，
∴CD=BE，
∴AC=AD+CD=BE+AD；

（3）∵AB=10cm，
∴CF=

1

2

AB=5cm，
∴S_△ABC=

1

2

×10×5=25，
∴四邊形DCEF的面積=

1

2

S_△ABC=

1

2

×25=

25

2

．

點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有點難度，屬于中檔題．