Question

【題目】

如圖，在中，已知，，點是線段上的動點（不與端點重合），點是線段上的動點，連接、，若在點、點的運動過程中，始終保證。

（1）求證：；

（2）當以點為圓心，以為半徑的圓與相切時，求的長；

（3）探究：在點、點的運動過程中，可能為等腰三角形嗎？若能，求出的長；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE的長為1或5；（3）當BE的長為1或時，△CFE為等腰三角形.

【解析】試題分析（1）由∠B +∠B CE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，∠CEF=∠B即可得∠AEF=∠BCE；（2）設(shè)⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA（如圖），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BM=AM==3，在Rt△AMC中，根據(jù)勾股定理可得CF =CM=4，即可得AF=1，再證得△AEF∽△BCE，設(shè)設(shè)BE長為x，則EA長為6-x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求解即可；（3）分CE=CF，CF=EF，CF=EF三種情況求解即可.

試題解析：

（1）證明：∵∠B +∠B CE=∠CEA =∠CEF+∠FEA

∠CEF=∠B

∴∠AEF=∠BCE

（2）設(shè)⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA

∵CA=CB，CM⊥BA ∴BM=AM==3

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CF =CM=4 ∴AF=1

∵ CA=CB ∴∠B=∠C

由（1）知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE

∴

設(shè)BE長為x，則EA長為6-x

∴

解得：x1=1，x2=5

答：BE的長為1或5.

（3）可能.

①當CE=CF時，∠3=∠2=∠A

∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立.

②當CF=EF時，

又∵△AEF∽△BCE

∴△AEF≌△BCE

∴AE=BC=5

∴BE=AB-5=1

③當CF=EF時，∠1=∠2=∠A=∠B

△FCE∽△CBA

∴

∴

∵△AEF∽△BCE

∴

∴

∴

答：當BE的長為1或時，△CFE為等腰三角形.