Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的底邊在軸上，已知，拋物線(其中)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，雙曲線(其中)經(jīng)過(guò)點(diǎn)軸，軸，垂足分別為且

（1）求出的值；當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出的表達(dá)式；

（2）當(dāng)為正三角形時(shí)，直線平分，求時(shí)的取值范圍；

（3）拋物線（其中）有一時(shí)刻恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且此時(shí)拋物線與雙曲線（其中）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（其中），我們不妨把此時(shí)刻的記作，請(qǐng)直接寫出拋物線（其中）與雙曲線（其中）有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．（是已知數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意得，，故可得出k=；由變形為得A，B兩點(diǎn)為拋物線與x軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入，求出a的值即可；

（2）由為正三角形可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出拋物線y2的解析式，再根據(jù)直線平分求出b和c，得到直線y3解析式，聯(lián)立y1與y3，y2與y3，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題；

（3）分、、、，四種情況分別求解即可．

（1）∵點(diǎn)軸，軸，

∴，

又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

∴；

∵

∴拋物線y1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0）

∴點(diǎn)在拋物線y1上，

∴點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)，AB=3-(-1)=4，

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD=AB=2，

∴OD=AD-AO=1，

∴C（1，2）

把C（1，2）代入，求得，

∴；

∵A(-1,0)，B（3，0）

∴AB=4

過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，

∵△ABC是正三角形，

∴AC=AB=4，AD=AB=2，OD=1

∴

∴C(1,)

把C(1,) 代入，解得，，

∴

∵直線平分，

∴∠OAE=30°,

∴AE=2OE

∵AO=1，

∴，解得，

∴c=

把（-1，0）代入得，b=

∴

聯(lián)立與得

解得，，

所以當(dāng)時(shí)，

聯(lián)立與得，

解得，，

當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，

拋物線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn);

②當(dāng)時(shí)，拋物線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)拋物線右端點(diǎn)正好落在雙曲線上時(shí),

當(dāng)時(shí),拋物線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);

④當(dāng)時(shí),拋物線和雙曲線始終有一個(gè)公共點(diǎn);

所以當(dāng)時(shí),拋物線和雙曲線始終有一個(gè)公共點(diǎn)