Question

（2002•廣西）已知拋物線y=-x²+2mx+4．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）設(shè)拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且，求拋物線的函數(shù)解析式，并畫出它的圖象；
（3）在（2）的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠APB等于90°？如果不存在，請說明理由；如果存在，先找出點(diǎn)P的位置，然后再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將二次函數(shù)的各系數(shù)代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（-，）解答；
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，0）（x₂，0），根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將+=轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答；
（3）假設(shè)P點(diǎn)存在，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)表達(dá)式，根據(jù)勾股定理解出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可證明存在點(diǎn)P．
解答：解：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，4+m²）．

（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0）（x₂，0），
因為+=，
所以+=，x1
配方得=，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，=，則=，
解得m=0，
則函數(shù)解析式為y=-x²+4；
則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），與x軸交點(diǎn)為（-2，0），（2，0）．如圖所示

（3）設(shè)P（x，-x²+4），
又因為A（-2，0），B（2，0），根據(jù)勾股定理（兩點(diǎn)間距離公式）
（x+2）²+（4-x²）²+（x-2）²+（4-x²）=4²，
解得x=±或x=±2（與A、B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．
P點(diǎn)坐標(biāo)為（±，1）．
點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了一元二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)系．通過將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，尤其注意（3）為開放性題目，需要進(jìn)行猜想和證明．