Question

在△ABC中，∠C=90°，若FO⊥AB于點O，E在BC邊上，扇形ODF的弦FE平分∠OFC．
（1）求證：扇形ODF與BC邊相切，
（2）若AC=6，BC=8．求扇形ODF的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵扇形ODF的弦FE平分∠OFC，
∴∠OFE=∠EFC，
∵FO=EO，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFC，
∵∠FCE=90°，
∴∠EFC+∠FEC=∠FEC+∠OEF=90°，
∴∠OEC=90°，
∴扇形ODF與BC邊相切，；

（2）解：設扇形ODF的半徑為rcm，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵扇形ODF與BC相切，切點為E，
∴OE⊥BC
∵∠AOF=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AOF∽△ACB
∴△AOF∽△ACB．
∴=，即=，
解得：AO=r，
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，
∴△BOE∽△BAC，又OB=AB-OA=10-r，
∴=，即=，
解得：r=．
分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFC+∠FEC=∠FEC+∠OEF=90°，即可得出答案；
（2）設扇形ODF的半徑為r，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，再由扇形ODF與BC相切，得到OE垂直于BC，由OF與AB垂直及AC于BC垂直得到兩對直角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△AOF與△ACB相似，由相似得比例，將AC，BC及設出的半徑r代入，表示出AO的長，又AC垂直于BC，可得出OE與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出兩對對應角相等，根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△BOE與△ACB相似，根據(jù)相似得比例將AB，AC，表示出的OB及OE代入，得到關于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵．