Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位的速度向O點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q、P移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？
（3）求出（2）中當(dāng)以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）小題利用X軸 Y軸的坐標(biāo)特點(diǎn)代入y=-

4

3

x+8，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）（3）小題由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的長(zhǎng)度，注意（2）（3）都有兩種情況．

解答：解：（1）y=-

4

3

x+8，
當(dāng)x=0時(shí)，y=8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=6，
答案為：點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，8）．

（2）此題有兩種情況：
在△ABO中∠BOA=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，
∵∠BAO=∠BAO，BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t，
第一種情況：

AQ

AB

=

AP

AO

時(shí)，△AQP∽△ABO，
即

10-2t

10

=

t

6

，
解得：t=

30

11

，
第二種情況：
當(dāng)

AQ

AO

=

AP

AB

時(shí)△AQP∽△AOB，
即

10-2t

6

=

t

10

，
解得：t=

50

13

．
答案為：當(dāng)t為

30

11

或

50

13

時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

（3）∵以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，
當(dāng)t=

30

11

時(shí)，

PQ

8

=

30 11

6

，
 解得：PQ=

40

11

 當(dāng)t=

50

13

時(shí)，
 

PQ

8

=

50 13

10

，
 解得PQ=

40

13

，
答案為：當(dāng)以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度是

40

11

或

40

13

．

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到正確的比例式，難點(diǎn)是正確進(jìn)行分類(lèi)討論．此題題型較好，難度適中．