Question

18．[問題提出]：如圖1，由n×n×n（長×寬×高）個小立方塊組成的正方體中，到底有多少個長方體（包括正方體）呢？

[問題探究]：我們先從較為簡單的情形入手．
（1）如圖2，由2×1×1個小立方塊組成的長方體中，長共有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3條線段，寬和高分別只有1條線段，所以圖中共有3×1×1=3個長方體．
（2）如圖3，由2×2×1個小立方塊組成的長方體中，長和寬分別有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3條線段，高有1條線段，所以圖中共有3×3×1=9個長方體．
（3）如圖4，由2×2×2個小立方體組成的正方體中，長、寬、高分別有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3條線段，所以圖中共有27個長方體．
（4）由2×3×6個小立方塊組成的長方體中，長共有1+2=$\frac{3×2}{2}$=3條線段，寬共有6條線段，高共有21條線段，所以圖中共有63個長方體．
[問題解決]
（5）由n×n×n個小立方塊組成的正方體中，長、寬、高各有$\frac{n（n+1）}{2}$線段，所以圖中共有$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$個長方體．
[結(jié)論應(yīng)用]
（6）如果由若干個小立方塊組成的正方體中共有1000個長方體，那么組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是多少？請通過計算說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 [問題探究]：
（3）如圖4，把長、寬、高三邊的線段條數(shù)相乘即可求解；
（4）先得到寬共有多少條線段，高共有多少條線段，再把長、寬、高三邊的線段條數(shù)相乘即可求解；
（5）先根據(jù)數(shù)線段的方法得到長、寬、高三邊的線段條數(shù)，再把它們相乘即可求解；
[結(jié)論應(yīng)用]
（6）由（5）的結(jié)論，根據(jù)等量關(guān)系：由若干個小立方塊組成的正方體中共有1000個長方體，列出方程求解即可．

解答 解：[問題探究]：
（3）3×3×3=27（個）．
答：圖中共有27個長方體．
（4）4×3÷2=6（條），
7×6÷2=21（條），
3×6×21=378（個）．
答：寬共有6條線段，高共有21條線段，圖中共有63個長方體．
（5）長、寬、高各有$\frac{n（n+1）}{2}$線段，所以圖中共有[$\frac{n（n+1）}{2}$]³=$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$個長方體．
[結(jié)論應(yīng)用]
（6）依題意有：
[$\frac{n（n+1）}{2}$]³=1000，
$\frac{n（n+1）}{2}$=10，
解得n₁=4，n₂=-5（不合題意舍去），
4×4×4=64（個）．
答：組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是64個．
故答案為：27；6，21，63；$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$．

點評 考查了立體圖形，組合圖形中線段的計數(shù)，本題關(guān)鍵是得到n×n×n個小立方塊組成的正方體中共有[$\frac{n（n+1）}{2}$]³個長方體．