Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，頂點(diǎn)D在y軸正半軸上．
（1）如圖1，反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象與正比例函數(shù)y=

2

3

x的圖象交于點(diǎn)A． BC邊經(jīng)過點(diǎn)A，CD邊與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)E，四邊形OACE的面積為6．
①直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②判斷線段CE與DE的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與CD交點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，CM=nDM（n＞0），連接OM，ON，MN，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（t＞0）．求：

S△CMN

S△OMN

（用含n的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）①把反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式組成方程組即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
②連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出△ODE與△OAB的面積，再根據(jù)四邊形OACE的面積為6求出矩形OBCD的面積，由此即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，由于點(diǎn)M、N是反比例函數(shù)y=

6

x

圖象上的點(diǎn)，故可得出S_△OME=S_△
OBN，所以S_△OMN=S_矩形EBNM，設(shè)點(diǎn)M（t，

k

t

），則C（（n+1）t，

k

t

），E（t，0），B（（n+1）t，0），N（（n+1）t，

k

(n+1)t

），再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象與正比例函數(shù)y=

2

3

x的圖象的交點(diǎn)，
∴

y= 6 x y= 2 3 x

，
解得

x=-3 y=-2

（舍去）或

x=3 y=2

∴A（3，2）；
②如圖1，連接OC，
∵點(diǎn)A、E均是反比例函數(shù)y=

6

x

圖象上的點(diǎn)，
∴S_△ODE=S_△OAB=3，
∵四邊形OACE的面積為6，
∴S_矩形OBCD=S_△ODE+S_△OAB+S_{四邊形OACE}=3+3+6=12，
∵四邊形OBCD是矩形，
∴S_△OCD=

1

2

S_矩形OBCD=

1

2

×12=6，
∴S_△OED=S_△OCE，
∵兩三角形的高相等，
∴CE=DE；

（2）如圖2，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)M、N是反比例函數(shù)y=

6

x

圖象上的點(diǎn)，
∴S_△OME=S_△OBN，
∴S_△OMN=S_矩形EBNM，
設(shè)點(diǎn)M（t，

k

t

），則C（（n+1）t，

k

t

），E（t，0），B（（n+1）t，0），N（（n+1）t，

k

(n+1)t

），
∴S_△CMN=

1

2

CM•CN=

1

2

nt•（

k

t

-

k

(n+1)t

）=

1

2

nk（1-

1

n+1

）；
S_△OMN=S_矩形EBNM=

1

2

（ME+BN）•BE=

1

2

（

k

t

+

k

(n+1)t

）•nt=

1

2

nk（1+

1

n+1

），
∴

S△CMN

S△OMN

=

1 2 nk(1- 1 n+1 )

1 2 nk(1+ 1 n+1 )

=

n

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題等相關(guān)知識(shí)，難度適中．