Question

設(shè)二次函數(shù)y=x²+2（cosθ+1）x+cos²θ，（0＜θ≤90°）的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，并且|x₁-x₂|≤2

2

，則θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,銳角三角函數(shù)的增減性

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，建立cosθ與兩根的和與積的關(guān)系，再將|x₁-x₂|≤2

2

兩邊平方，得到關(guān)于兩根積與兩根和的關(guān)系式，
再將cosθ與兩根的和與積的關(guān)系式代入求解．

解答：解：∵x₁+x₂=-2（cosθ+1），x₁x₂=cosθ，
又∵|x₁-x₂|≤2

2

，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂≤8，
∴4（cosθ+1）²-4cos²θ≤8，cosθ≤

1

2

，
又∵△=4（cosθ+1）²-4cos²θ＞0，
∴4（2cosθ+1）＞0（0°＜θ≤90°）總成立．
∴cosθ≤

1

2

，
故答案為：60°≤θ≤90°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與兩點(diǎn)之間的距離的關(guān)系，解答時(shí)要考慮cosθ的取值范圍．