Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C時，求直線DP的函數(shù)解析式；

（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②如圖②，把長方形沿著OP折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）y=x+2；（2）①S=﹣2t+16，②點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，10）；（3）存在，滿足題意的P坐標(biāo)為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【解析】分析：（1）設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）①當(dāng)P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當(dāng)P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；
②設(shè)P（m，10），則PB=PB′=m，根據(jù)勾股定理求出m的值，求出此時P坐標(biāo)即可；
（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可．

詳解：（1）如圖1，

∵OA=6，OB=10，四邊形OACB為長方形，

∴C（6，10）．

設(shè)此時直線DP解析式為y=kx+b，

把（0，2），C（6，10）分別代入，得

，解得

則此時直線DP解析式為y=x+2；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時，OD=2，高為6，S=6；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，OD=2，高為6+10﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；

②設(shè)P（m，10），則PB=PB′=m，如圖2，

∵OB′=OB=10，OA=6，

∴AB′==8，

∴B′C=10﹣8=2，

∵PC=6﹣m，

∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=

則此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，10）；

（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①當(dāng)BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8，

在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，

根據(jù)勾股定理得：CP1==2，

∴AP1=10﹣2，即P1（6，10﹣2）；

②當(dāng)BP2=DP2時，此時P2（6，6）；

③當(dāng)DB=DP3=8時，

在Rt△DEP3中，DE=6，

根據(jù)勾股定理得：P3E==2，

∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），

綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．