Question

如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別是M，N．
（1）求證：MN=AM+BN；
（2）若過點C在△ABC內(nèi)作直線MN，如圖2，AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別是M，N，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？只需寫出結(jié)論即可．

Answer 1

證明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；

（2）結(jié)論：MN=NB-AM．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．
分析：（1）利用互余關(guān)系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，利用線段的和差關(guān)系證明結(jié)論；
（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系推出對應(yīng)角相等，證明三角形全等．