Question

如圖，平面直角坐標系中，已知點（2，3），線段垂直于軸，垂足為，將線段繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點落在點處，直線與軸的交于點．

（1）試求出點的坐標；

（2）試求經(jīng)過、、三點的拋物線的表達式，并寫出其頂點E的坐標；

（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點，使得以點、、為頂點的三角形與△相似．

 

Answer 1

【答案】

（1）點的坐標為（，）．                                                 

        設(shè)直線的表達式為．

        易得  解得             

        所以直線的表達式為．

        當時，，．

        所以點的坐標為（，）．              

（2）設(shè)經(jīng)過、、三點的拋物線的表達式

為（）             

        易得                   

解得                                                             

        因此，所求的拋物線的表達式為．  

        其頂點坐標為 (，)．                                                 

（3）點在的對稱軸(即直線)上，所以設(shè)點的坐標為（1，）．

        由題意可得 ，，

        ∴ , ．

        所以若以、、為頂點的三角形與△相似，必有一個角的度數(shù)為，

由此可得點必定在點的上方，

，                                       

        所以當或時，

以、、為頂點的三角形與△相似．                              

由點（，）、（，）、（2，3）、(，)易得

，，．

        ∴或．

        解得 或．                                      

        故符合題意的點有兩個，其坐標為（1,5）或（1,6）．                       

【解析】（1）已知A點坐標，根據(jù)AB的長以及線段AB的旋轉(zhuǎn)條件確定點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進一步能求出點D的坐標．

（2）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，通過配方能得到頂點E的坐標．

（3）首先畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)A、B、C、D四點坐標，能判斷出∠ACD=135°，結(jié)合A、E的坐標，首先確定點F的大致位置，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出點F的坐標．