Question

【題目】規(guī)定：不相交的兩個函數圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數的“親近距離”

（1）求拋物線y＝x2﹣2x+3與x軸的“親近距離”；

（2）在探究問題：求拋物線y＝x2﹣2x+3與直線y＝x﹣1的“親近距離”的過程中，有人提出：過拋物線的頂點向x軸作垂線與直線相交，則該問題的“親近距離”一定是拋物線頂點與交點之間的距離，你同意他的看法嗎？請說明理由．

（3）若拋物線y＝x2﹣2x+3與拋物線y＝+c的“親近距離”為，求c的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）不同意他的看法，理由詳見解析；（3）c＝1．

【解析】

(1)把y=x2﹣2x+3配成頂點式得到拋物線上的點到x軸的最短距離，然后根據題意解決問題；

(2)如圖，P點為拋物線y=x2﹣2x+3任意一點，作PQ∥y軸交直線y=x﹣1于Q，設P(t，t2﹣2t+3)，則Q(t，t﹣1)，則PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)，然后利用二次函數的性質得到拋物線y=x2﹣2x+3與直線y=x﹣1的“親近距離”，然后對他的看法進行判斷；

(3)M點為拋物線y=x2﹣2x+3任意一點，作MN∥y軸交拋物線于N，設M(t，t2﹣2t+3)，則N(t，t2+c)，與(2)方法一樣得到MN的最小值為﹣c，從而得到拋物線y=x2﹣2x+3與拋物線的“親近距離”，所以，然后解方程即可．

(1)∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2，

∴拋物線上的點到x軸的最短距離為2，

∴拋物線y=x2﹣2x+3與x軸的“親近距離”為：2；

(2)不同意他的看法．理由如下：

如圖，P點為拋物線y=x2﹣2x+3任意一點，作PQ∥y軸交直線y=x﹣1于Q，

設P(t，t2﹣2t+3)，則Q(t，t﹣1)，

∴PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)=t2﹣3t+4=(t﹣)2+，

當t=時，PQ有最小值，最小值為，

∴拋物線y=x2﹣2x+3與直線y=x﹣1的“親近距離”為，

而過拋物線的頂點向x軸作垂線與直線相交，拋物線頂點與交點之間的距離為2，

∴不同意他的看法；

(3)M點為拋物線y=x2﹣2x+3任意一點，作MN∥y軸交拋物線于N，

設M(t，t2﹣2t+3)，則N(t，t2+c)，

∴MN=t2﹣2t+3﹣(t2+c)=t2﹣2t+3﹣c=(t﹣)2+﹣c，

當t=時，MN有最小值，最小值為﹣c，

∴拋物線y=x2﹣2x+3與拋物線的“親近距離”為﹣c，

∴，

∴c=1．