【題目】如圖,,點(diǎn)分別在、上,連接,、的平分線交于點(diǎn)、的平分線交于點(diǎn)

求證:四邊形是矩形.

小明在完成的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索,過(guò)點(diǎn),分別交、于點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn),分別交于點(diǎn)、,得到四邊形.此時(shí),他猜想四邊形是菱形.請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路.

小明的證明思路:由,易證,四邊形是平行四邊形.要證是菱形,只要證.由已知條件________,,可證,故只要證,即證,易證________,________,故只要證易證,,________,故得,即可得證.

【答案】平分

【解析】

(1)AB∥CD可得∠AEF=∠DFE,∠BEF=∠CFE,又由EG、FG、EH、FH均為角平分線可得DG∥FH,EH∥GF,且∠EGF=∠EHF=90°,故可得四邊形EGFH為矩形;

(2)利用MN∥EFFG是角平分線可證△NGF為等腰三角形,得NG=NF;再通過(guò)證明△MGE≌△QHFMG=QF,從而得到NM=NQ進(jìn)而證明四邊形是菱形.

(1)證明:∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
∵FH平分∠DFE,
∴∠EFH=∠DFE,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,
∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°,
同理可得:∠EGF=90°,
∵EG平分∠AEF,
∴∠EFG=∠AEF,
∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
點(diǎn)A、E、B在同一條直線上,
∴∠AEB=180°,
∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,
∠GEH=90°
四邊形EGFH是矩形;
(2) 答案不唯一:
AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易證四邊形MNQP是平行四邊形,
要證MNQP是菱形,只要證MN=NQ,由已知條件:FG平分∠CFE,MN∥EF,
故只要證GM=FQ,即證△MGE≌△QFH,易證 GE=FH、∠GME=∠FQH.
故只要證∠MGE=∠QFH,易證∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得證;
故答案為:FG平分∠CFE,GE=FH、∠GME=∠FQH,∠GEF=∠EFH.

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