在直角坐標系中,函數(shù)y=
kx
(x>0,k為常數(shù))的圖象經(jīng)過A(4,1),點B(a,b)(0<a<4)是雙精英家教網(wǎng)曲線上的一動點,過A作AC⊥y軸于C,點D是坐標系中的另一點.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)當(dāng)四邊形ABCD為菱形時,試求B、D的坐標;
(3)若以A、B、C、D為頂點的平行四邊形的面積為12,那么對角線最長可達多少?
分析:(1)直接將A點的坐標導(dǎo)入函數(shù)式中即可得出k的值,即可得出解析式;
(2)利用菱形的性質(zhì),可得出B點的坐標,再利用BE=ED,即可得出D點的坐標;
(3)結(jié)合題意,過點B作BF⊥AC于點F,可先將反比例函數(shù)式求解出,利用勾股定理得出PB;同時過點D1作D1M⊥CA于M,可得出CD1的長;過D2作D2N⊥直線AC于N,并得出AD2的長,分別比較BP、CD1和AD2的大小即可.
解答:解:(1)∵x=4,y=1,
1=
k
4
,
∴k=4,
y=
4
x
(3分)

(2)如圖1,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時,BD垂線平分AC于E,
則可得a=2,b=2,即:B(2,2),(5分)
又∵BE=ED=1,BD⊥x軸,
∴D(2,0)(7分)

(3)如圖2,過B作BF⊥AC于F,
當(dāng)平行四邊形ABCD面積為12時,BF•AC=12,
∴BF=3,即b=4.
把y=4代入y=
k
x
得,x=1,則B(1,4).(8分)
設(shè)BD交AC于P,PC=AP=2,CF=PF=1,
∴PB2=32+12=10,
BP=
10
,BD=2BP=2
10
>AC=4
,(9分)
當(dāng)四邊形AD1BC面積為12時,過D1作D1M⊥CA于M,D1M=BF=3,CF=AM=1,CD12=52+32=34,
CD1=
34
>AB=
18
.(10分)
當(dāng)平行四邊形ABD2C的面積為12時,
過D2作D2N⊥直線AC于N,CN=AF=3,D2N=BF=3,AN=7.
∴AD22=72+32=58,AD2=
58
>BC=
10
,(11分)
精英家教網(wǎng)
58
>2
10
34
,
∴對角線最長可達
58
. (12分)
點評:本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的面積等多個知識點.此題難度稍大,綜合性比較強,注意對各個知識點的靈活應(yīng)用.
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x
的圖象與直線x+y=3相交于點A、B,則點A與點B到原點的距離分別是( 。
A、5,5
B、
5
,5
C、5,
5
D、
5
,
5

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A.
B.
C.
D.

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