Question

【題目】如圖，∠MBN=90°，點(diǎn)C是∠MBN平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C分別作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分別為點(diǎn)C，E，AC=，點(diǎn)P為線段BE上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、E重合），連接CP，以CP為直角邊，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，作等腰直角三角形CPD，點(diǎn)D落在BC左側(cè)．

（1）求證：；

（2）連接BD，請你判斷AC與BD的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）設(shè)PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC∥BD；（3）．

【解析】

試題（1）由△CPD∽△CEB證得結(jié)論；

（2）AC∥BD．欲推知AC∥BD，直線推知∠ACB+∠DBC=180°；

（3）如圖所示，過點(diǎn)P作PF⊥BD．交DB的延長線于點(diǎn)F．通過解直角三角形、（2）中相似三角形的對應(yīng)邊成比例和三角形的面積公式寫出函數(shù)關(guān)系式即可．

試題解析：（1）證明：∵∠MBN=90°，點(diǎn)C是∠MBN平分線上的一點(diǎn)，∴∠CBE=45°，又CE⊥BN，∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形．

又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴，∴；

（2）解：AC∥BD，理由如下：

∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB．

由（1）知，，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC．

∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；

（3）解：如圖所示，過點(diǎn)P作PF⊥BD．交DB的延長線于點(diǎn)F．

∵AC=，△ABC與△BEC都是等腰直角三角形，∴BC=，BE=CE=4．

由（2）知，△EPC∽△BDC，∴．即，∴DB=x．

∵∠PBF=∠CBF﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE﹣PE=4﹣x，∴PF=BPsin∠PBF=（4﹣x）×=﹣x，∴S=DBPF=×x×（﹣x），即：．