【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC60°,AB2.過點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)EP為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)B,D重合),連接PA,PE,AC

1)求證:四邊形ABDE是平行四邊形;

2)求四邊形ABDE的周長(zhǎng)和面積;

3)記ABP的周長(zhǎng)和面積分別為C1S1PDE的周長(zhǎng)和面積分別為C2S2,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍:①C1+C2,②S1+S2,如果是定值的,請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值;如果不是定值的,請(qǐng)直接寫出它的取值范圍.

【答案】1)見解析;(2ABDE的周長(zhǎng)為:,面積為;

3)①;②S1+S2的值為定值,這個(gè)定值為

【解析】

1)利用菱形的性質(zhì)得:ABDE,由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形可得結(jié)論;
2)設(shè)對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O.根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)得AC的長(zhǎng),由勾股定理得OB的長(zhǎng)和BD的長(zhǎng),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得其周長(zhǎng)和面積;
3)①先根據(jù)三角形的周長(zhǎng)計(jì)算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE,確定AP+PE的最大值和最小值即可;
根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑問題可得:當(dāng)PD處時(shí),AP+PE的值最小,最小值是2+2=4,由圖形可知:當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí),AP+PE的值最大,構(gòu)建直角三角形計(jì)算即可;
S1+S2的值為定值,這個(gè)定值為,根據(jù)面積公式可得結(jié)論.

1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,

ABCD,

ABDE

BDAE

∴四邊形ABDE是平行四邊形.

2)解:設(shè)對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC60°,

∴∠ABD=∠CBPABC30°ACBD

RtAOB中,AOAB1,

OB

BD2BO2

ABDE的周長(zhǎng)為:2AB+2BD4+4,

ABDE的面積為:BDAO2×12

3)①∵C1+C2AB+PB+AP+PD+PE+DE2AB+BD+AP+PE4+2+AP+PE

CA關(guān)于直線BD對(duì)稱,

∴當(dāng)PD處時(shí),AP+PE的值最小,最小值是2+24,

當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí),AP+PE的值最大,如圖2

EEGBD,交BD的延長(zhǎng)線于G

∵∠BDE150°,

∴∠EDG30°,

DE2,

EG1,DG,

RtPEG中,BG2+3,

由勾股定理得:PE,

AP+PE的最大值是:2+2,

P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)B,D重合),

4+4+2C1+C24+2+2+2,即8+2C1+C26+2+2;

(寫對(duì)一邊的范圍給一分)

S1+S2的值為定值,這個(gè)定值為

理由是:S1+S2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,EFAD,將平行四邊形ABCD沿著EF對(duì)折.設(shè)∠1的度數(shù)為,則∠C=______.(用含有n的代數(shù)式表示)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換,代數(shù)式不變,則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式,如就是完全對(duì)稱式(代數(shù)式中換成b,b換成,代數(shù)式保持不變).下列三個(gè)代數(shù)式:①;②;③.其中是完全對(duì)稱式的是(

A.①②B.①③C.②③D.①②③

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,寬為20米,長(zhǎng)為32米的長(zhǎng)方形地面上,修筑寬度為x米的兩條互相垂直的小路,余下的部分作為耕地,如果要在耕地上鋪上草皮,選用草皮的價(jià)格是每平米a元,

1)求買草皮至少需要多少元?(用含a,x的式子表示)

2)計(jì)算a40,x2時(shí),草皮的費(fèi)用.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(3,0)和(4,0)之間,則下列結(jié)論:

①ac

②a﹣b+c>0;

③當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大

若(﹣,y1),(,y2)是拋物線上的兩點(diǎn),則y1y2

一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知ABCBDE都是等邊三角形。下列結(jié)論:① AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°,⑤△BFG是等邊三角形;⑥ FGAD。其中正確的有_______個(gè).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個(gè)不透明的袋子中裝有三個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5.從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)小球,用小球上的數(shù)字作為十位的數(shù)字,然后放回;再取出一個(gè)小球,用小球上的數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,這樣組成一個(gè)兩位數(shù),試問:按這種方法能組成哪些位數(shù)?十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和為9的兩位數(shù)的概率是多少?用列表法或畫樹狀圖法加以說明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在長(zhǎng)方形中,,動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)2厘米/秒的速度向終點(diǎn)移動(dòng),點(diǎn)1厘米/秒的速度向移動(dòng),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為,問:

(1)當(dāng)秒時(shí),四邊形面積是多少?

(2)當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)距離是?

(3)當(dāng)_________時(shí),以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.(直接寫出答案)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在正方形ABCD中,EBC邊上一點(diǎn),FBA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AFCE,連接BDEF,FG平分∠BFEBD于點(diǎn)G

1)求證:△ADF≌△CDE

2)求證:DFDG;

3)如圖2,若GHEF于點(diǎn)H,且EHFH,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,GHy,求yx之間的關(guān)系式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案