Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若△ABD的面積是6，求四邊形BDFE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；

∴AF=FD，即F是AD的中點(diǎn)；

又∵E是AB的中點(diǎn)，

∴EF是△ABD的中位線；

∴EF∥BC

（2）解：由（1）易證得：△AEF∽△ABD；

∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，

∴S△ABD=4S△AEF=6，

∴S△AEF=1.5．

∴S四邊形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5

【解析】（1）在等腰△ACD中，CF是頂角∠ACD的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知F是底邊AD的中點(diǎn)，由此可證得EF是△ABD的中位線，即可得到EF∥BC的結(jié)論；（2）易證得△AEF∽△ABD，根據(jù)兩個(gè)相似三角形的面積比（即相似比的平方），可求出△ABD的面積，而四邊形BDFE的面積為△ABD和△AEF的面積差，由此得解．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，需要了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能得出正確答案．