Question

【題目】已知：如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線．
（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵AC是⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠C，

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA=∠OBC，

即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，

∴OB⊥PB，

∵OB為半徑，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴BC=OB，

∵OP∥BC，

∴∠CBO=∠POB，

∴∠C=∠POB，

在△ABC和△PBO中

∵ ，

∴△ABC≌△PBO（ASA），

∴AC=OP=8，

即⊙O的半徑為4．

【解析】（1）連接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠C，推出∠PBO=90°，根據切線的判定推出即可；（2）證△ABC≌△PBO（ASA），進而得出⊙O的半徑．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)．