Question

（2012•鄂爾多斯）如圖，海中有一小島P，在距小島24

3

海里范圍內(nèi)有暗礁，一輪船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東45°，且A，P之間的距離為48海里，若輪船繼續(xù)向正東方向航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始至少沿東偏南多少度方向航行，才能安全通過(guò)這一海域？

Answer 1

分析：過(guò)P作PC⊥AM于C，則PC的長(zhǎng)是A沿AM方向距離P點(diǎn)的最短距離，求出PC長(zhǎng)和24

3

比較即可．

解答：解：
過(guò)P作PC⊥AM于C，
則∠PCA=90°且PC的長(zhǎng)是A沿AM方向距離P點(diǎn)的最短距離，
∵∠PAM=90°-45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC²=AP²=48²，
∴PC=24

2

海里＜24

3

海里，
∴輪船繼續(xù)向正東方向航行，有觸礁的危險(xiǎn)；
設(shè)A沿AD方向運(yùn)動(dòng)，正好沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，如圖：

過(guò)P作PE⊥AD，于E，則此時(shí)PE=24

3

海里，
在Rt△PAE中，由勾股定理得：AE=

482-(24 3 )2

=24，
即AE=

1

2

AP，
∴∠APE=30°，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°-45°=15°，
即輪船自A處開(kāi)始至少沿東偏南15度方向航行，才能安全通過(guò)這一海域．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是如何構(gòu)造直角三角形并知道求哪一條線段的長(zhǎng)，題目比較典型，是一道比較好的題目．