【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=4,AD= 時(shí),求線(xiàn)段BG的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:BD=CF成立.

理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,

∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,

∴∠BAD=∠CAF,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAF(SAS).

∴BD=CF.


(2)①證明:設(shè)BG交AC于點(diǎn)M.

∵△BAD≌△CAF(已證),

∴∠ABM=∠GCM.

∵∠BMA=∠CMG,

∴△BMA∽△CMG.

∴∠BGC=∠BAC=90°.

∴BD⊥CF.

②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N.

∵在正方形ADEF中,AD=DE= ,

∴AE= =2,

∴AN=FN= AE=1.

∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,

∴CN=AC﹣AN=3,BC= =4

∴在Rt△FCN中,tan∠FCN= =

∴在Rt△ABM中,tan∠ABM= =tan∠FCN=

∴AM= AB=

∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ,BM= = =

∵△BMA∽△CMG,

∴CG=

∴在Rt△BGC中,BG= =


【解析】(1)△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,易證得△BAD≌△CAF,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,即可證得BD=CF;(2)①由△BAD≌△CAF,可得∠ABM=∠GCM,又由對(duì)頂角相等,易證得△BMA∽△CMG,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,可得BGC=∠BAC=90°,即可證得BD⊥CF;②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N,利用勾股定理即可求得AE,BC的長(zhǎng),繼而求得AN,CN長(zhǎng),又由等角的三角函數(shù)值相等,可求得AM= AB= ,然后利用△BMA∽△CMG,求得CG的長(zhǎng),再由勾股定理即可求得線(xiàn)段BG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°),還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠BCP=15°時(shí),求t的值;
(3)以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化,當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線(xiàn))相切時(shí),求t的值.

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(1)求A種、B種設(shè)備每臺(tái)各多少萬(wàn)元?

(2)根據(jù)單位實(shí)際情況,需購(gòu)進(jìn)AB兩種設(shè)備共20臺(tái),總費(fèi)用不高于15萬(wàn)元,求A種設(shè)備至少要購(gòu)買(mǎi)多少臺(tái)?

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(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).

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