Question

關于x的方程x²+2x+2

x2+2x+2p

-p2=0，其中p是實數．
（1）若方程沒有實數根，求P的范圍；
（2）若p＞0，問p為何值時，方程有兩個相等的實數根？并求出這兩個根．

Answer 1

分析：（1）換元，令

x2+2x+2p

=y，把

x2+2x+2p

中根號下的數看成整體，再求p的范圍；
（2）方程有兩個相等的實數根，判別式=0，求出p，再求得兩實根．

解答：解：（1）令

x2+2x+2p

=y，①
則原方程變?yōu)閥²+2y-（p²+2p）=0．（3分）
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．（6分）
若原方程沒有實數根，只須

p＜0 -2-p＜0

解這個不等式組，得-2＜p＜0．（9分）

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得

x2+2x+2p

=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．（11分）
將②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③（12分）
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．（15分）
當p=1時，原方程有兩個相等的實數根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．（17分）
經檢驗，當p=1時，x₁=x₂=-1是原方程的根．（18分）

點評：本題是換元法解無理方程，注意這個方程無解條件的討論是解決本題的關鍵．