Question

3．已知矩形ABCD的邊長AB=4，BC=6，
（1）如圖1，若點(diǎn)P是AD上一動點(diǎn)（異于A、D），Q是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接AQ、DQ，過點(diǎn)P作PE∥DQ于點(diǎn)E，作PF∥AQ交DQ于F．
①若AP=PD，求△PEF的面積；
②設(shè)AP的長為x，試求△PEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖2，點(diǎn)E、F是BC上的動點(diǎn)，
①若BE=EF=FC，求△APQ的面積；
②若BE：EF：FC=1：2：1，求BP：PQ：QD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PE∥QD得出的同位角相等即可證得兩三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四邊形PEQF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}，可先求出△AQD的面積，然后根據(jù)△AEP與△ADQ相似，用相似比的平方即面積比求出△APE的面積，同理可求出△DPF的面積，進(jìn)而可求出平行四邊形PEQF的面積表達(dá)式，也就能得出關(guān)于S，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值即對于的x的值；
（3）以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A，E，F(xiàn)，B坐標(biāo)，確定直線AE，AF，BD解析式，求出點(diǎn)P，Q坐標(biāo)，即可求解．

解答 解：（1）①∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}=$\frac{1}{2}×4×6×\frac{1}{4}=3$；
②同①可證△APE∽△ADQ與△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}，
根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比得平方，
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}=（\frac{x}{6}）^{2}$，$\frac{{S}_{△DPE}}{{S}_{△ADQ}}=（\frac{6-x}{6}）^{2}$，
∵S_△AQD=$\frac{1}{2}$AD×AB=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
得S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}
=$\frac{1}{2}$（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=$\frac{1}{2}$×[6-$（\frac{x}{6}）^{2}$×6-（$\frac{6-x}{6}$）²×6]
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{3}$x²+2x）
=-$\frac{1}{6}$x²+x．
∴y=-$\frac{1}{6}$x²+x．

（2）如圖2

以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
①由AB=4，BC=6，BE=EF=FC可求，
BE=EF=FC=2，
∴B（0，0），E（2，0），F(xiàn)（4，0），A（0，4），D（6，4），
用兩點(diǎn)法可求：直線AE的解析式為：y=-2x+4，
直線AF的解析式為：y=-x+4，
直線BD的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{3}{2}$，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{24}{15}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{15}$），
∴△APQ的面積=S_△ABQ-S_△ABP=$\frac{1}{2}×4×\frac{12}{5}$-$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{5}$；
②由AB=4，BC=6，BE：EF：FC=1：2：1，可求，BE=$\frac{3}{2}$，EF=3，
與①同理可求：直線AE的解析式為：y=-$\frac{8}{3}$x+4，
直線AF的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
直線BD的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x，
與①同理可求：P（$\frac{6}{5}$，$\frac{4}{5}$），Q（2，$\frac{4}{3}$），
∴$\frac{BP}{BQ}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BP}{BD}=\frac{\frac{4}{5}}{4}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{BP}{PQ}=\frac{3}{2}$，
∴BP：PQ：QD=3：2：10．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，會運(yùn)用函數(shù)思想解決圖形問題是解題的關(guān)鍵．