Question

【題目】如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三點(diǎn)．

（1）求這條拋物線和直線BC的解析式；

（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）；；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求出a的值即可得出拋物線的解析式；然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；

（2）易得只能是以E為直角頂點(diǎn)的三角形，利用勾股定理的逆定理可證明，再證明，所以當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)滿足條件，當(dāng)E為點(diǎn)C在拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)也滿足條件，利用對(duì)稱性寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解：（1）設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，

解得：，

拋物線解析式為，

即；

設(shè)直線的解析式為，

把代入，

得，

解得，

直線的解析式為；

（2）存在．

由圖象可得以或點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的不存在，

只能是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的三角形，

，

，

為直角三角形，，

，

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似；

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．